Die Wichtel Alfred, Bertram und Christoph hatten sich eigentlich für den heutigen Tag freigenommen, um Urlaub am Südpol zu machen. Unerwarteterweise ging aber die Geschenkeproduktionsmaschine Nummer 481 kaputt und der Nikolaustag naht, so dass alle drei nun doch in die Werkstatt des Weihnachtsmannes gerufen wurden. Aufgrund ihres eindringlichen Protestes macht der manchmal recht verspielte Nikolaus ihnen ein Angebot:
Sie dürfen sich kurz beraten, danach dürfen sie keinerlei Geräusche, Zeichen oder dergleichen austauschen. Anschließend setzt er jedem eine zufällig ausgewählte rote oder blaue Mütze auf, ohne dass der jeweilige Wichtel seine eigene Mützenfarbe erkennen kann, jeder Wichtel sieht aber die Farben auf den Köpfen der beiden anderen. Auf ein Signal des Nikolaus hin äußern die Wichtel zeitgleich eine Vermutung, welche Hutfarbe sie tragen, wobei sie auch schweigen dürfen. Wenn mindestens einer richtig sowie keiner falsch liegt, dürfen sie ihre Reise zum Südpol antreten. Liegt aber auch nur einer falsch oder alle entscheiden sich zu schweigen, so haben sie verloren und müssen arbeiten gehen.
Nun sind die Wichtel natürlich nicht dumm und versuchen, ihre Chancen zu maximieren. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die Wichtel nicht arbeiten müssen?
Bonusaufgabe (fließt nicht in die Bewertung ein): Was passiert, wenn man 7 statt der 3 Wichtel hätte, die nach den selben Regeln spielen?
| Lösung |
3/4, mit folgender Strategie: Wenn ein Wichtel zweimal die selbe Farbe auf den Köpfen der anderen sieht, so nennt er genau die andere Farbe. Sieht er zwei verschiedene Farben, so schweigt er. Beispiel: Alfred bekommt rot, Bertram blau und Christoph ebenso blau. Dann sehen Bertram und Christoph jeweils beide Farben und schweigen somit, während Alfred zweimal blau sieht und deshalb rot sagt. Da Alfred richtig sowie niemand falsch liegt, dürfen sie also in ihren (wohlverdienten) Urlaub gehen. Man prüft nun leicht, dass sie genau dann verlieren, wenn alle drei die selbe Farbe bekommen haben. Die Chance, dass alle rot erhalten, ist (1/2)·(1/2)·(1/2) = 1/8. Genauso ist die Chance, nur blaue Hüte zu erhalten, auch 1/8. Somit gewinnen sie in 1-1/8-1/8 = 3/4 der Fälle. Eine detaillierte Betrachtung aller möglichen Strategien zeigt, dass es auch wirklich nicht besser geht.
Lösung ausblenden |
|
|
