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Fußballliga-Spielplan Max hat die Aufgabe erhalten, für mehrere Fußballligen die Spielpläne zu erstellen. Diese Ligen umfassen jeweils mindestens 4 Mannschaften, und es sind folgende Vorgaben zu erfüllen:
1. Die Spielpläne umfassen jeweils eine Hin- und eine Rückrunde, in denen jeweils alle Mannschaften der Liga gegeneinander antreten, je einmal mit Heimrecht und einmal auswärts.
2. An jedem Spieltag treten alle Mannschaften an (für jeweils ein Spiel), wenn die Zahl n der Mannschaften in der Liga gerade ist, bzw. genau eine Mannschaft setzt aus, wenn n ungerade ist.
Max ist gebeten worden, zusätzlich noch die folgende Bedingung zu erfüllen:
3. Jede Mannschaft soll während der ganzen Spielzeit immer abwechselnd ein Heimspiel und ein Auswärtsspiel haben, d.h. es sollen nie zwei Heimspiele oder zwei Auswärtsspiele aufeinander folgen.
Max merkt sehr schnell, dass es von der Zahl n der Mannschaften in der Liga abhängt, ob diese Bedingung 3 erfüllt werden kann.
Aufgabe (Es müssen a) und b) beantwortet werden!):
a) Für genau welche n ist Bedingung 3 nicht erfüllbar? Eine Begründung hierfür ist nicht verlangt.
b) Für das kleinste n, für das Bedingung 3 erfüllbar ist (beachte, welche n oben zugelassen wurden!), gib einen Spielplan für Hin- und Rückrunde an, der die Bedingungen 1, 2 und 3 erfüllt. Nummeriere hierfür die Mannschaften von 1 bis n durch und schreibe die Spieltage Zeile für Zeile in der folgenden Form an (Beispiel einer Zeile (= Spieltag) für n = 6 oder n = 7):
1 - 3, 2 - 6, 4 - 5
Die jeweils erstgenannte Mannschaft (hier 1, 2, 4) ist die Heimmannschaft, eine eventuell spielfreie Mannschaft (wäre hier 7) wird gar nicht erwähnt.
| Lösung |
a) Für alle geraden n ist Bedingung 3 nicht erfüllbar, denn zwei Mannschaften, die am ersten Spieltag ein Heimspiel haben, hätten immer gleichzeitig Auswärts- und Heimspiele, müssten aber auch gegeneinander antreten. Für alle ungeraden n ist Bedingung 3 erfüllbar.
b) Das Prinzip sieht man leicht an folgendem Spielplan für n = 5:
2 - 5, 4 - 3
3 - 1, 5 - 4
4 - 2, 1 - 5
5 - 3, 2 - 1
1 - 4, 3 - 2
4 - 1, 2 - 3
3 - 5, 1 - 2
2 - 4, 5 - 1
1 - 3, 4 - 5
5 - 2, 3 - 4
Bemerkung: Bei dieser Lösung setzen die Mannschaften in folgender Reihenfolge aus: 1, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 2, 1. Natürlich könnte man in der Hinrunde eine andere Reihenfolge wählen. Wesentlich ist aber, dass die Rückrunde mit den Rückspielen zum letzten Spieltag der Hinrunde beginnt.
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