Ein exzentrischer Kinobesitzer will, dass alle seine Zuschauer in der ersten Reihe sitzen und hat daher in seinem Vorführungssaal nur eine Stuhlreihe. Die Zahl der Stühle passt er bei jeder Vorstellung kurzfristig der Besucherzahl an.
Doch damit nicht genug: Er will den Kinobesucherinnen ein Glas Prosecco, den Kinobesuchern einen Krug Bier bereitstellen.
Seinen Bekannten (einen Mathematiker) fragt er nun, mit wie vielen verschiedene Kombinationen einer Reihe von Bier und Prosecco er rechnen muss.
Dieser denkt laut:
"Bei 3 Besuchern wären die folgenden Kombinationen möglich:
Bier Bier Bier
Bier Bier Prosecco
Bier Prosecco Bier
Bier Prosecco Prosecco
Prosecco Bier Bier
Prosecco Bier Prosecco
Prosecco Prosecco Bier
Prosecco Prosecco Prosecco
Allgemein bei n Besuchern 2 hoch n."
"Moment" meint darauf der Macho-Kinobesitzer, "die Möglichkeiten 'Bier Prosecco Prosecco', 'Prosecco Prosecco Bier' und 'Prosecco Prosecco Prosecco' fallen weg, weil in meinem Kino keine zwei weiblichen Besucher nebeneinander sitzen dürfen: Die quatschen nur während des Films."
"Ja dann sind es bei drei Besuchern noch 5 Möglichkeiten." bestätigt der Mathematiker.
Frage für Schüler aus der Unterstufe:
Wie viele Möglichkeiten gibt es (inklusive der Macho-Regel) bei 6 Besuchern?
Frage für Schüler aus der Mittel- oder Oberstufe:
Wie viele Möglichkeiten gibt es (inklusive der Macho-Regel) bei 9 Besuchern?
(freiwillige Zugabe: Wie entstehen die Zahlen allgemein für n?)
| Lösung |
Bei einer Person gibt es bereits zwei Möglichkeiten (B, P)
Bei zwei Personen 3 (BB, BP, PB)
Bei drei Personen 5 (BBB, BBP, BPB, PBB, PBP)
Bei vier Personen 8 (BBBB, BBPB, BPBB, PBBB, PBPB, BBBP, BPBP, PBBP)
Bei fünf Personen 13 (BBBBB, BBPBB, BPBBB, PBBBB, PBPBB, BBBPB, BPBPB, PBBPB, BBBBP, BBPBP, BPBBP, PBBBP, PBPBP)
Die gesetzmäßigkeit, die man an dieser Stelle vermutet: Die neue Zahl ist die Summe der beiden Vorgänger, kann man sich wie folgt begründen:
Stellt man ans Ende der Reihe einen weiteren Stuhl, auf dem ein Herr Platz nehmen soll, gibt es kein Problem mit der Machoregel - in diesem Fall wird neben jede bisherige Kombination einfach ein B geschrieben:
von fünf Personen zu sechs Personen kommt man dann mit allen Kombinationen von 5 Personen, ergänzt durch ein neues "b": BBBBBb, BBPBBb, BPBBBb, PBBBBb, PBPBBb, BBBPBb, BPBPBb, PBBPBb, BBBBPb, BBPBPb, BPBBPb, PBBBPb, PBPBPb.
Etwas schwieriger ist es, wenn sich eine Dame daneben setzen soll: Dann fallen die Möglichkeiten weg, bei denen bereits eine Dame am Ende der Reihe sitzt. Kurz es sind alle Möglichkeiten bei denen die vorletzte Reihung mit einem Herrn ergänzt wurde... diese können jetzt auch mit einer Dame schließlich komplettiert werden.
Schauen wir uns alle Möglichkeiten für vier Personen an und ergänzen sie um ein b für männliche und ein p für weibliche "Erweiterung": BBBBbp, BBPBbp, BPBBbp, PBBBbp, PBPBbp, BBBPbp, BPBPbp, PBBPbp.
Folglich sind alle Möglichkeiten für sechs Personen: 13+8=21
und so geht es weiter: 34=21+13, 55=34+21, 89=55+34 usw.
Die Zahlenfolge ist die sogenannte Fibonacci-Folge (ohne die ersten beiden Folgenglieder 1 und 1), die uns sicher noch öfter begegnen wird.
Lösung ausblenden |
|
|
