Weihnachten steht vor der Tür, doch ging gerade erst das einen Kilometer lange Transportband der Geschenkemaschine des Weihnachtsmannes kaputt! Zum Glück waren die automatischen Reparaturroboter sofort zur Stelle und haben den Schaden behoben. Es gibt aber noch ein kleines Problem: Die Roboter befinden sich noch auf dem Transportband innerhalb der Maschine.
Aus Sicherheitsgründen ist die Maschine nur an den beiden Enden betret- und einsehbar, was zum einen bedeutet, dass die Roboter sie nur dort wieder verlassen können, und zum anderen, dass der Weihnachtsmann die Position und Anzahl der Roboter in der Maschine nicht bestimmen kann. Die beiden Öffnungen sind zudem viel zu klein und düster, als dass er tiefer hineinsehen, geschweige denn hineinklettern könnte.
Von seinem Oberwichtel erfährt er, dass die Roboter darauf programmiert sind, nach getaner Reparatur schnurstracks zu einem zufällig gewählten Ende der Anlage zu laufen (verschiedene Roboter können dabei verschiedene Enden gewählt haben). Dabei kommt es durchaus öfter vor, dass zwei der Roboter kollidieren; in einem solchen Fall drehen sich beide um und laufen in die entgegengesetzten Richtungen als zuvor. Er erfährt vom Technikerwichtel zudem, dass alle Roboter genau einen Meter pro Sekunde zurücklegen, aber auch dieser kennt die genaue Anzahl der eingesetzten Roboter nicht.
Der Weihnachtsmann möchte natürlich die Anlage schnellstens wieder in Betrieb nehmen, muss sich dazu aber sicher sein, dass sich keine Roboter mehr auf dem Band befinden. Es stellt sich also folgende Frage: Wie lange muss er mindestens warten, damit garantiert alle Roboter aus der Maschine gekommen sind?
(Die richtige Lösung besteht aus einer Zeitangabe sowie einer kurzen Begründung)
| Lösung |
Nach 1000 Sekunden kann er sich frühestens sicher sein, dass kein Roboter mehr in der Maschine ist. Betrachten wir zwei dazu kollidierende Roboter A und B (die Pfeile sollen die momentane Bewegungsrichtung angeben): A-> <-B Direkt nach der Kollision sieht es so aus: <-AB-> Da sich alle Roboter gleich verhalten, ändert sich nichts, wenn die Situation stattdessen jetzt so wäre: <-BA-> Das ist aber nichts anderes, als wenn die Roboter durcheinander hindurch gelaufen wären. Wir können also sagen: Anstatt zu kollidieren und dann umzudrehen, laufen die Roboter einfach durcheinander hindurch. Dann ist die Zeit, die ein bestimmer Roboter X zum Verlassen der Maschine benötig, nicht anderes, als die Zeit, die er benötigt, um (kollisionsfrei) bis zu dem Ende zu laufen, zu dem er sich anfangs hinbewegt. Schlimmstenfalls startet also ein Roboter an einem Ende der Maschine und legt die volle Strecke bis zum anderen Ende zurück. Da er also 1000 m mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s zurücklegen muss, benötigt er dafür 1000 Sekunden.
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