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Vor lauter Langeweile spielt Katja im Mathematik-Unterricht mit ihrem Taschenrechner herum. Das ist in ihrem Fall auch ganz reizvoll, da ihr Rechner - nachdem sie ihn beim Packen ihres Schulzeugs versehentlich fallen ließ - einen Fehler in der Anzeige der Zahlen macht, sobald man auf das Gleichheitszeichen tippt: Die Ziffer an der Einer-Stelle wird nach links an den Anfang der Zahl gesetzt und alle restlichen Ziffern rutschen in Richtung des leer gewordenen Platzes nach rechts auf (statt 123 würde der Taschenrechner folglich die Zahl 312 anzeigen). Während Katja wahllos Zahlen eintippt, hält sie plötzlich inne. Erstaunt stellt sie fest, dass die vom Taschenrechner gerade angezeigte Zahl genau fünf mal so groß ist wie die ursprünglich von ihr eingetippte. Begeistert erzählt sie die Beobachtung ihrer Banknachbarin Claudia, doch die will nicht glauben, dass es solche Zufälle gibt. Als Katja ihrer Freundin den Taschenrechner als Beweis zeigen will, ist die Anzeige leider schon gelöscht. Vergeblich versucht Katja sich zu erinnern, um welche Zahl es sich gehandelt hatte. Sie weiß nur noch, dass es eine sechsstellige, natürliche Zahl war...
Kannst du ihr helfen? Oder hat Katja sich womöglich geirrt, und in Wirklichkeit gibt es gar keine Zahl, die durch den Anzeigefehler des Taschenrechners exakt fünf mal so groß wird?
Als Lösung sind alle sechsstelligen, natürlichen Zahlen gesucht, auf welche die beschriebene Eigenschaft zutrifft - oder, falls keine solchen Zahlen existieren, eine kurze Begründung, warum nicht.
| Lösung |
Tatsächlich gibt es genau eine sechsstellige Zahl, die durch das Verrücken der letzten Ziffer an den Beginn der Zahl fünfmal so groß wird. Vielleicht bist Du durch geschicktes Probieren fündig geworden? Hier für alle Interessierten ein Weg, der sowohl die Existenz als auch die Eindeutigkeit der Lösung beweist:
Die eingetippte Zahl Z wird durch Buchstaben als sechstellige Zahl dargestellt: abcdex
Rechnerisch erhält man die vom Taschenrechner angezeigte Zahl Z' durch folgende Schritte aus der eingetippten Zahl Z: Subtrahieren von x, dann Division durch 10, damit die übrig gebliebene Zahl abcde0 nach rechts aufrutscht. Anschließend wird x mit 100.000 multipliziert und zu abcde addiert. So erreicht man, dass x an vorderster Stelle der angezeigten Zahl steht, und erhält xabcde. Die vom Taschenrechner angezeigte Zahl Z' ist also Z' = (Z - x)/10 + 100.000*x
Jetzt lässt sich durch die zusätzliche Angabe, dass die angezeigte Zahl fünfmal so groß ist, wie die eingetippte, also Z' = 5*Z, folgende Gleichung aufstellen: (Z-x)/10 + 100.000x = 5*Z
Durch Umformen erhält man
49*Z = 999.999*x
7*7*Z = 3*3*3*7*11*13*37*x (Primfaktorzerlegungen)
Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen auf beiden Seiten die gleichen Primfaktoren vorhanden sein (Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung). Da auf der linken Seite bereits (mindestens) zwei Siebener vorkommen und auf der rechten nur einer, muss zusätzlich x = 7 sein (oder ein Vielfaches von 7 - was aber nicht in Frage kommt, da x einstellig ist). Daraus lässt sich schließlich die Zahl Z berechnen:
Z = (999.999*7)/49 = 142.857 Und schon haben wir die (einzige) Lösung gefunden.
Eine zweite Möglichkeit, um die Zahl 142.857 zu erhalten ist eine Reihe von logischen Zusammenhängen:
- Zu Beginn der eingetippten Zahl muss die Ziffer 1 (Z = 1xxxxx) stehen, da sich durch Multiplikation mit 5 sonst eine 7-stellige Zahl ergeben würde.
- In der angezeigten Zahl steht die 1 folglich an der zweiten Stelle von vorne (Z' = x1xxxx).
- Um durch Multiplikation mit 5 an dieser Stelle eine 1 zu erhalten gibt es nur 2 Möglichkeiten: Die Ziffer vorher muss eine 2 oder eine 3 sein, da 2*5=10 und 3*5=15. Die Zahl Z lautet also bis jetzt Z = 1x2xxx oder Z = 1x3xxx und damit Z' = x1x2xx oder Z' = x1x3xx
- Um nun an der vierten Stelle der angezeigten Zahl Z' eine 2 oder 3 zu ermöglichen gibt es wiederum jeweils 2 Möglichkeiten: An der vorhergehenden Stelle muss im Fall Z' = x1x2xx eine 4 oder eine 5 stehen, da 4*5=20 und 5*5=25. Für den Fall Z' = x1x3xx sind es die Ziffern 6 und 7 da 6*5=30 und 7*5=35. Die eingetippte Zahl Z lässt muss nun also wie folgt ausschauen: Z = 1x2x4x bzw. Z = 1x2x5x bzw. Z = 1x3x6x bzw. Z = 1x3x7x. Damit lauten die in Frage kommenden angezeigten Zahlen: Z' = x1x2x4 bzw. Z' = x1x2x5 bzw. Z' = x1x3x6 bzw. Z' = x1x3x7.
- Beim Multiplizieren mit 5 erhält man an der Einer-Stelle immer eine 0 oder eine 5 (1*5=5, 2*5=10, 3*5=15 usw). Die einzige Zahl Z', bei der die letzte Ziffer eine 0 oder 5 ist lautet Z' = x1x2x5. Die dazugehörige Zahl Z ist demnach Z = 1x2x5x. Da es sich hierbei um eine 5 handelt sind nur die ungeraden Zahlen 1, 3, 5, 7 und 9 für die Einer-Stelle der eingegebenen Zahl Z möglich.
- Es gibt also 5 Möglichkeiten zu testen: Z = 1x2x51, Z = 1x2x53, Z = 1x2x55, Z = 1x2x57 und Z = 1x2x59. Die angezeigten Zahlen Z' wären für die ersten beiden Z definitiv zu klein, da durch das Versetzen der letzten Ziffer an den Beginn der Zahl niemals eine 5mal so große Zahl herauskommen kann. Es bleiben also nur noch die Zahlen Z = 1x2x55, Z = 1x2x57 und Z = 1x2x59. Diese werden nun der Reihe nach überprüft. Für Z = 1x2x55 wäre Z' = 51x2x5. Wenn man Z schrittweise mit 5 multipliziert, erhält man zunächst 5*5 = 25, also eine 5 für die Einer-Stelle von Z' und 2 gemerkt, als Zehnerstelle von Z folgt wieder eine 5, also 5*5 + 2 = 27, sprich eine 7 für die Zehnerstelle von Z' (wieder 2 gemerkt). Das bedeutet, die Hunderterstelle von Z müsste ebenfalls eine 7 sein, weil die Zahl durch den Anzeigefehler ja nach rechts nachrückt. Als nächstes wäre also 5*7 + 2 = 37 zu berechnen. Hieraus ergibt sich eine 7 für die Hunderterstelle der Zahl Z', wo wegen der Nachrück-Vorgabe aber eine 2 stehen muss. Diese Möglichkeit scheidet also aus.
- Genauso verfährt man mit den Zahlen Z = 1x2x57 und 1x2x59 und erhält schließlich als einzige Lösung das Zahlenpaar Z = 142.857 und Z' = 714.285.
Übrigens: Wer kurz staunen will, der vergleiche die Lösung mit den periodischen Nachkommastellen von einem Siebtel...
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