Wir schreiben das Jahr 3773. Zum ersten mal seit der großen Christkind-Krise des Jahres 2012 plant der Weihnachtsmann, Geschenke zu verteilen, wozu er aber zuerst einmal die Anzahl der Kinder in den Ländern der Welt herausfinden muss. Dabei helfen ihm seine enorm vielen Wichtel (als Weihnachtsmann hat er natürlich immer so viele Wichtel, wie er gerade braucht). Ein kurzer Blick auf eine aktuelle Weltkarte zeigt ihm, dass es 13 verschiedene Länder auf der Welt gibt, in denen insgesamt 8388607 Menschen leben. Da er selbst wenig Zeit hat und Wichtel nur einfache Aufgaben ausführen können, versucht er folgenden Plan:
Jeden Morgen schickt er in jedes Land eine von ihm festgelegte Anzahl Wichtel (in verschiedene Länder kann er auch verschieden viele Wichtel schicken; zudem kann er sich auch entscheiden, in ein Land garkeine Wichtel zu entsenden). Am Abend dann kehrt jeder Wichtel zum Nordpol zurück und macht soviele Kreidestriche an die große Zähltafel des Weihnachtsmannes, wie er Kinder in dem von ihm besuchten Land vorgefunden hat. Anschließend zählt der Weihnachtsmann die vielen Kreidestriche zusammen.
Ein kleines Beispiel (mit 2 Ländern und weniger Einwohnern):
In Australien gibt es 5 Kinder, im neuen bayerischen Großreich 17 Kinder. Entsendet er nun 7 Wichtel nach Australien sowie 2 Wichtel nach Bayern, so wird er am Ende des Tages 7·5+2·17 = 35+34 = 69 Kreidestriche vorfinden.
Nun steht Weihnachten vor der Tür und der Weihnachtsmann muss schnellstmöglich herausfinden, wieviele Kinder es in jedem einzelnen Land gibt (man bedenke, dass sich bayerische Kinder ganz andere Geschenke wünschen, als etwa australische Kinder). Am Abend es wievielten Tages kann er die genauen Kinderzahlen jedes einzelnen Landes kennen, wenn er sich geschickt anstellt? Wie erreicht er dies? (Zu einer vollständigen Lösung gehört also nicht nur die Angabe des Tages, sondern auch eine kurze Beschreibung seines Vorgehens.)
| Lösung |
Er kann es tatsächlich am Abend des ersten Tages wissen.
Nehmen wir kurz an, es gäbe nur 42 Menschen und 3 Länder (A=Australien, B=Bayern, C=Chromatien) auf der Welt, wovon A 5 Kinder, B 17 Kinder und C 11 Kinder habe (man bedenke, dass nicht jeder Mensch ein Kind ist, weshalb 5+17+11 = 33 kleiner als 42 sein darf).
Er entsendet nun einen Wichtel nach A, 100 Wichtel nach B sowie 100² = 10000 Wichtel nach C. Am Abend sind dann 1·5+100·17+10000·11 = 111705 Kreidestriche an der Tafel. Jetzt kann er diese Zahl einfach (hinten beginnend) in die Zweierblöcke 11, 17 und 05 zerlegen und bequem die Kinderanzahlen ablesen. Wichtig hierbei ist, dass 33 beziehungsweise 42 kleiner als 100 ist, da sich die Zahlenblöcke bim Addieren sonst hätten "überlappen" können.
Kehren wir also zur realen Welt mit 13 Ländern und 8388607 Menschen zurück.
Sei dafür m die riesige Zahl m = 10000000 = 107, welche größer als die Weltbevölkerung von 8388607 ist. Dann entsendet er ins erste Land einen Wichtel, ins zweite Land m = 10000000 Wichtel, ins dritte Land m2 = 100000000000000 Wichtel, ins vierte Land m3 Wichtel, und so weiter. Ins letzte Land werden also m12 = 1084 Wichtel entsenden (eine wahrhaft astronomische Zahl, das sind mehr, als es Atome im Universum gibt). Die Zahl der Kreidestrcihe unterteilt der Weihnachtsmann dann (wieder von hinten) in 13 Siebenerblöcke und kann dann die Kinderanzahlen ablesen.
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