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Als ein Bauer stirbt, soll seine Herde auf seine beiden Kinder aufgeteilt werden. Diese jedoch entscheiden sich, sämtliche Tiere zu verkaufen und den Gewinn zu teilen. Die beiden verlangen für jedes Tier so viel Geld in Euro, wie Tiere vorhanden sind. Ausgezahlt bekommen sie den Erlös von einem Freund, der den Verkauf durchgeführt hat, in Zehn-Euro-Scheinen und ansonsten in Ein-Euro-Stücken. Als alle Tiere verkauft sind, nehmen die beiden Geschwister sich zunächst immer abwechselnd einen Schein, wobei der Sohn sowohl den ersten als auch den letzten zieht. Kein Problem, denken sich die beiden: Bekommt die Tochter eben sämtliche Münzen. Gesagt getan, stellen sie fest, dass die Tochter mit der Teilung immer noch nicht zufrieden sein kann. Nachdem beide ihr Geld zur Bank gebracht haben, schreibt der Junge seiner Schwester eine Überweisung, um die Teilung endlich gerecht zu machen. Wie viel muss die Tochter noch per Überweisung bekommen, damit der Erlös der Tiere gerecht geteilt ist? Als Antwort ist die Zahl und eine kurze, stichpunktartige Begründung anzugeben!
| Lösung |
Wenn es n Tiere gibt und jedes n Euro kostet, ist der Gesamtbetrag n^2 Euro.
Jede Zahl n kann man in der Form a*10+b schreiben (beispielsweise die Zahl 4356 als 435*10+6).
n^2 ist also (a*10+b)*(a*10+b) = 100*a^2+20*ab+b^2.
Die ersten beiden Terme (100*a^2+20*ab) ergeben immer eine Zahl mit einer geraden Zehnerstelle. Dieser Anteil lässt sich immer zwischen den beiden Erben glatt aufteilen. Nur der Anteil b^2 kann also dazu führen, daß die beiden Geschwister nicht gleich viele 10-Euro-Scheine erhalten.
Da b ja die Anzahl der Münzen beschreibt, sind nur die Quadratzahlen b=1 bis b=9 zu betrachten: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 und 81. Davon haben nur 16 und 36 eine ungerade Zehnerstelle; bei allen anderen Zahlen hätten die Scheine gerecht geteilt werden können. Egal, ob nun 16 oder 36 - die Einerstelle ist immer 6. Folglich hat die Tochter 6 Euro-Münzen bekommen und ihr Bruder muss ihr noch 2 Euro überweisen, damit der Unterschied von 4 Euro ausgeglichen ist. Eine ähnliche Lösungsmöglichkeit ist die folgende: Gewinn=N*N, wobei N=Anzahl der Tiere.
J=Anzahl der Scheine des Jungen
M= Anzahl der Scheine des Mädchens
k= Anzahl der Münzen
Dann muss gelten: J=M+1. (Junge hat einen Schein mehr)
Außerdem: Gewinn=N*N=10*J+10*M+k
Also: N*N=10*(2M+1)+k
Jetzt M durchlaufen lassen und testen (beachte k<10):
M=0: funktioniert mit N=4 und k=6
M=1: funktioniert mit N=6 und k=6
1<M<12: funktioniert nicht.
M=12: funktioniert mit N=16 und k=6
usw.
Bei M=36 klappt es dann erneut. => k=6
=> 10-6=4 Euro Unterschied! Er muss 2 Euro überweisen!
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