Die kleinste Zahl ist 1024375869.

Die größte Zahl ist 9876524130.

Natürlich kann man dies gut über ein kleines selbst geschriebenes Programm herausbekommen oder durch geschicktes Probieren.

Ich ging folgenden Weg:

Für beide Zahlen gilt:

Die Summe der 10 Ziffern muss 45 ergeben.
Die alternierende Quersumme muss durch 11 teilbar sein, dann ist es nämlich auch die ganze Zahl.
Sind die Ziffern a, b, c, ... j, dann ist die alternierende Summe a-b+c-d+e-f+g-h+i-j.
Die Plusglieder bestehen dabei aus 5 Ziffern und die Minusglieder aus 5 Ziffern.
Nennen wir die Summe der Plusglieder P und die der Minusglieder M, so gilt also
P+M=45 und P-M=k*11 mit einer ganzen Zahl k.
Da die Summe aus 5 verschiedenen Ziffern mindestens 10 (=0+1+2+3+4) und höchstens 35 (=5+6+7+8+9) sein kann, kann der Betrag der Differenz P-M auch nur höchstens 25 sein.
Folglich kann k nur die Werte -2, -1, 0, 1 oder 2 annehmen.
Da die Summe aus P und M ungerade (nämlich 45) sein soll, muss es die Differenz auch sein. Folglich kommen für k nur noch +1 oder -1 in Frage.
Also: P+M=45 und (P-M=11 oder P-M=-11).
Für diese Gleichungen gibt es nur die Lösungen P=17 und M=28 oder umgekehrt M=17 und P=28.
Das heißt die eine Gruppe aus 5 Ziffern ergibt die Summe 17 und die andere 28.
Geht man dies systematisch an, erhält man als mögliche Ziffern für die Summe 17:
0 1 2 5 9
0 1 2 6 8
0 1 3 4 9
0 1 3 5 8
0 1 3 6 7
0 1 4 5 7
0 2 3 4 8
0 2 3 5 7
0 2 4 5 6
1 2 3 4 7
1 2 3 5 6
Die restlichen Ziffern gehören dann zur jeweils anderen Gruppe.

Sucht man nun die kleinste Zahl, so ist klar, dass ein Anfang 102.... wünschenswert wäre.
Den kann man nur mit der vorletzten oder letzten Zeile der obigen Auflistung erhalten.
Durch Ausprobieren sieht man schnell, dass die letzte Zeile und die richtige Anordnung die kleinste Zahl 1024375869 liefert.

Sucht man die größte Zahl, wäre ein Anfang 98765... traumhaft.
9, 7 und 5 in der selben Fünfergruppe liefern nur die Zeilen 2 und 7 der obigen Auflistung (dann sind diese Ziffern in der nicht notierten Fünfergruppe).
8 und 6 in der notierten Fünfergruppe lässt schließlich nur noch Zeile 2 zu und die geschickteste Anordnung führt zu 9876524130.

Fertig.