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Frau Vier und Herr Eck haben endlich ihr Wunsch-Grundstück gefunden. Es ist ein Viereck, aber kein Parallelogramm, kein Quadrat, kein Rechteck, keine Raute und kein Trapez. Sie würden gerne wissen, wie groß es ist.
Im Bebauungsplan (siehe nicht maßstabsgetreue Zeichnung) ist ihr Wunsch-Grundstück rot markiert. Von den benachbarten Grundstücken ist jeweils der Inhalt der grün eingezeichneten Flächen bekannt: Ein Rechteck ist 1000 m2, ein Dreieck 2000 m2 und ein weiteres Dreieck 1500 m2 groß.
Dieses Dreieck ergibt zusammen mit den Flächen V, W und X das Rechteck ABCD.  Aus diesen Informationen könnten sie die Fläche des roten Grundstücks ausrechnen, wenn sie von Geometrie ein bisschen Ahnung hätten.
Erst ein Tipp ihres Kindes bringt sie weiter: Wenn alle Seitenlängen einer Figur um den Faktor k vergrößert werden, ist der Flächeninhalt der neuen Figur k2 mal so groß wie der der ursprünglichen Figur. Verdoppelt man z.B. die Seitenlängen, so vervierfacht sich dadurch der Flächeninhalt. Berechne den Flächeninhalt des roten Vierecks in Quadratmetern und gib die Zahl (ohne Einheit) als Antwort an.
Eine Begründung ist nicht verlangt. P.S. Die gelben Dreiecke V und W müssen keinen rechten Winkel haben, auch wenn es in der Zeichnung so aussehen mag.
| Lösung |
8700 Erklärung:
Das Dreieck mit 2000 Quadratmetern Flächeninhalt hat als Grundlinie y = 4x, da das benachbarte Rechteck einen halb so großen Flächeninhalt hat und dieselbe Höhe.
Die Strecke [CD] ist also 5x lang.
Da die beiden gelben Dreiecke zueinander ähnlich sind, ist der Flächeninhalt von Dreieck W 25 (5 hoch 2) mal so groß wie der von Dreieck V.
Die Diagonale [BD] teilt das Rechteck ABCD in zwei gleich große Flächen. Deshalb gilt:
Fläche X + Fläche V = 1500 + Fläche W
Da Fläche W = 25 mal Fläche V ist, gilt:
Fläche X + Fläche V = 1500 + 25 mal Fläche V
Fläche X = 1500 + 24 mal Fläche V
Wenn man Fläche X mit X usw. abkürzt, hat man also jetzt die Gleichung * gefunden:
X = 1500 mal 24V Die Strecke [BC] soll mit b abgekürzt werden. Für den Flächeninhalt von Dreieck BCD gilt: X + V = 0,5 mal 5x mal b
Den Flächeninhalt des Dreiecks, das aus V und dem Dreieck 1500 besteht, berechnet man so:
V + 1500 = 0,5 mal x mal b
Daraus folgt: 5 mal (V + 1500) = X + V, d.h. 5V + 7500 = X + V, d.h. X = 7500 + 4V Aus dieser Gleichung und Gleichung * kann man ausrechnen, dass X = 8700 ist.
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