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ALLGEMEINER HINWEIS ZUVOR:
Falls jemand bei einem der bisherigen Rätseln meint, unverschuldet zu wenige Punkte erhalten zu haben (z. B. wegen Löschens einer richtigen Lösung bei den ersten Multiple-Choice-Rätseln), meldet dies bitte bei mir per Mail (ma@gympu.de) bis 21.12.2012 an. Ich werde die Reklamation dann prüfen. Spätere Reklamationen zu bis zum 20.12. erfolgte Korrekturen können grundsätzlich nicht mehr berücksichtigt werden. NUN ABER DAS RÄTSEL FÜR HEUTE:
Professor Euler und Dr. Homomorph, beide unübertrefflich in ihren Mathematikkenntnissen und natürlich leidenschaftliche Rätseltüftler, treffen sich kurz vor Weihnachten bei ihrer Bank.
Homomorph und Euler holen sich am Kontoauszugsdrucker ihre aktuellen Kontoauszüge.
Homomorph ist neugierig und schielt auf Eulers Auszüge: Gleichartige Buchungen über mehrere Seiten!!
Euler klärt ihn daraufhin über sein neues Hobby auf:
Euler verkauft per Internet Würfel in Sechserpacks, die er in Großpackungen günstig einkauft - und die ganzen Buchungen sind die Besteller, die ihre Sechserpacks Würfel zahlen.
Homomorph: "Wie viel Würfel kaufst du denn dann immer per Großpackung, damit sich das lohnt?"
Euler: "Das sind immer 192 Würfel - übrigens immer quaderförmig verpackt. Und natürlich sauber geordnet: Alle Würfel sind immer gleich orientiert."
[Anmerkung des Autors: Das heißt, es zeigen stets alle Würfel-Einsen nach oben, alle Zweien nach vorne usw. Oder auch alle Sechser nach oben, alle Zweier nach vorne und alle Vierer nach rechts o.ä.. Wir wissen nicht, wie sie orientiert sind, aber zumindest, dass es nicht kunterbunt gemischt ist: Jede Quaderaußenfläche hat nur gleichartige Augenzahlen. Ein Beispiel (nicht die Lösung!) ist als Bild angefügt.]
Homomorph: "Und welche Maße hat der Quader von 192 Würfeln, den du da geliefert bekommst?"
Euler: "Ich sage nur: Wenn ich alle Augen, die von außen am Quader sichtbar sind (also von allen sechs Flächen des Quaders) zusammenzähle, erhalte ich..."
... und da schielt er triumphierend zu Homomorphs Kontoauszügen ob dieses unglaublichen Zufalls ...
"... genau deinen Kontostand."
Homomorph ist überrascht und fasziniert. An Ort und Stelle packt er Stift und Papier aus, setzt sich auf einen Hocker im Bankvorraum und beschreibt sein DinA4-Blatt mit etlichen Zahlen ...
Nach 10 Minuten ist er genervt: "Als ob ichs jetzt wirklich wüsste..." schmettert er Euler entgegen!
Euler: "Stimmt - da muss ich dir noch einen Tipp geben." und er flüstert Homomorph den Tipp ins Ohr. Wie ist Homomorphs Kontostand? (Anzugeben ist nur eine Zahl. Keine Währung, keine Begründung.) 
| Lösung |
Zerlegt man 192 in Produkte von 3 natürlichen Zahlen, so findet man alle möglichen Kombinationen die 192 Würfel quaderförmig anzuordnen.
Das sind, verzichtet man auf simple Vertauschungen von Breite/Länge/Höhe, genau 16 Möglichkeiten.
Diese notiert sich Homomorph alle.
Dann überlegt er, dass es nicht wichtig ist, wie die Würfel orientiert sind - nur, dass alle gleich orientiert sind.
Denn, nennt man die Quaderkantenlängen x, y und z, so sieht man an einer Seitenfläche des Quaders xy Würfel und an der gegenüberliegenden Seitenfläche auch xy Würfel.
Die Summe der Augenzahlen auf diesen beiden Flächen ist dann 7xy, da sich bei Würfeln die Augenzahlen gegenüberliegenden Flächen stets zur Summe 7 ergänzen (also 1 liegt gegenüber von 6, 2 von 5 und 3 von 4).
Die anderen Seitenflächen haben die Würfelzahl yz und xz, womit sich die außen sichtbaren Augenzahlen zu 7(xy+yz+xz) berechnen lassen.
Dies macht Homomorph für jede der 16 oben genannten Möglichkeiten und bekommt für fast jede der 16 Zeilen ein individuelles, d.h. nur einmal auftretendes Ergebnis.
"Einzige" Ausnahme: Bei x=3, y=8, z=8 und x=4, y=4, z=12 erhält er beide male 784. Das muss sein Kontostand sein - sonst hätte er am Ende nicht behauptet, dass er die Maße jetzt immer noch nicht kenne, denn in jedem anderen Fall hätte er es (bis auf Vertauschung von Länge/Breite/Höhe) nun genau gewusst. Sein Kontostand ist folglich 784 (Euro?)
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