Beim großen Sportfest des Gymnasiums Pullach soll jedem Teilnehmer ein Stirnband mit der Aufschrift "Ich schwitze für Pullach" am Ende überreicht werden. Da die Stirnbänder nicht billig sind und nur in Packungen zu 8, 12 und 25 Stück angeboten werden, fährt der stellvertretende Direktor erst zum Stirnband-kaufen los, als er sieht, wie viele Schüler am Sportfest teilnehmen.
Ab welcher Anzahl von Teilnehmern kann ich mich darauf verlassen, dass bei obigen Stückelungen jeder ein Stirnband bekommt, aber auch keines übrig bleibt?
(z. B. geht es natürlich bei 25 Teilnehmern... Das wäre aber nur ein Lösungskandidat, wenn dann auch 26, 27, 28... Teilnehmer ohne Reste ausgestattet werden könnten - und nur dann eine Lösung, wenn es bei 24 Teilnehmern nicht auf ginge - was z. B. falsch ist)
Oder gibt es eine solche Mindestzahl nicht?
| Lösung |
Die 8er- und 12er-Packungen lassen alle Zahlen der Form 4*n entstehen (zumindest ab 8).
Die 25-er-Packung sorgt für das Erreichen von Zahlen der Form 4*n+1 ab 33, denn man nimmt zu den 8 25 dazu.
Nimmt man 2 25-er-Packungen dazu, landet man bei Zahlen 4*n+2 ab 58; nimmt man 3 dazu sind es die Zahlen 4*n+3 ab 83.
Also scheinen alle Zahlen erst erreichbar zu sein, wenn 4*n+3=83. Also ist ab 80 Teilnehmern die restlose Verteilung kein Problem, während bei 79 Teilnehmern die restlose Verteilung nicht möglich ist. Die Antwort ist also 80.
Lösung ausblenden |
|
|
